הבלוג של הגר שילה

זהו נספח לפוסט החקירה הספונטנית.

כאן אציג ואסביר הוכחה (לא מקורית) לאי־ההתכנסות של הסדרה ההרמונית,¹ כפי שהבנתי אותה ובמילים פשוטות, בתקווה (כנראה כוזבת) שבני אדם רגילים יוכלו לעקוב.

חידוש מרנין: לצורך חיבור פוסט זה נדרשתי ללמוד לעמד טקסט מתמטי.²

בפרקים הקודמים שאלתי איך קוראים לסכום מהצורה הבאה, ואף תהיתי על טיבו:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…$$

או בצורה יותר מקצועית:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+…$$

או בצורה אפילו יותר מקצועית:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$$

התברר שזה נקרא הסדרה ההרמונית,™ או הטור ההרמוני.

בסדרה יש איבר מהצורה ״אחד חלקי משהו״ שהולך ומתקרב לאפס ככל שה״משהו״ (מספר טבעי מ-1 עד אינסוף) הולך וגדל. מכיוון שהסדרה הולכת וקטנה, הייתה לי אינטואיציה שהטור מתכנס למספר כלשהו. שאלתי, ונאמר לי שזה לא המצב.

אז שאלתי איך יודעים, והוצגה לי הוכחה בנפנופי ידיים ושרבוטים משכנעים. הבנתי אותה די מהר, אבל כשניסיתי לשחזר אותה לצורך כתיבת הפוסט הזה, זה דווקא לקח לי קצת זמן. וגם רציתי לכתוב אותה בהסברים מפורטים וברורים, ובסוף גיליתי שיצא לי די ארוך, למרות שהיה נדמה לי שהרעיון פשוט.

תודו שזה מרגיע.

כדי להחמיר את המצב אף יותר, אני עומדת לומר משהו קצת מבלבל, אבל בסוף הפוסט תבינו שזה נכון: הרבה פעמים בהוכחות מתמטיות לוקחים איזו גרסה יותר קיצונית של המקרה שרוצים לטפל בו, או גרסה יותר מופשטת, או סתם קצת שונה באיזשהו אופן, כי מאיזושהי סיבה יותר קל להוכיח משהו לגבי המקרה השני. ואז מוכיחים בהצלחה את מה שצריך על הגרסה ההיא, ואוטומטית זה אומר משהו על המקרה המקורי שרצינו לטפל בו, בגלל טיב הדמיון בין המקרים.

ולענייננו.

ה״מקרים״ שלנו יהיו ״סדרה 1״ ו״סדרה 2״, כאשר סדרה 1 היא הסדרה ההרמונית. נכתוב את סדרה 1 שלנו בצורה פשוטה ותמימה, בלי כל מיני k או n או דברים מפחידים כאלה:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+…$$

עכשיו נמציא סדרה אחרת, סדרה 2. מה שיאפיין אותה הוא שהיא מגיעה לסכום קטן יותר מאשר הסדרה הראשונה. זה יעזור לנו בהמשך!

הנה סדרה 2:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\\ +\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}+…$

אפשר לראות שהסכום של סדרה 2 קטן יותר, אם מסתכלים על שתי הסדרות עד מספר מקומות מסוים (עד איבר כלשהו). כבר החל מהאיבר השלישי יש הבדל ביניהן. ההשוואה בין האיבר הראשון של סדרה 1 לאיבר הראשון של סדרה 2 יוצאת אותו דבר, שתיהן מגיעות בצעד הראשון שלהן לסכום 1. עד כאן פשוט. בצעד השני, שתיהן מגיעות לסכום 1/2. עדיין פשוט, הן זהות גם עד כאן. אבל הופה, בצעד השלישי כבר יש הבדל:

בסדרה 1 הערך של האיבר השלישי הוא 1/3, כך שהסכום הוא:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

בסדרה 2 הערך של האיבר השלישי הוא 1/4, כך שהסכום הוא:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

בניגוד להתבטאות של שרת התרבות מירי רגב מהזמן האחרון,³ רבע קטן משליש. פה מתחיל הפער בין הסדרות: הסכום של סדרה 2 יהיה קטן יותר כמו שרצינו.

אבל אני רוצה להתעכב על זה רגע. שברים לא אינטואיטיביים לנו, כי ארבע גדול משלוש, אז איך זה שרבע קטן משליש? That's messed up.

אבל זה בדיוק הקטע בשברים. זה למעשה כל הקטע. יש פה בעצם עיקרון של שליליות, או של היפוך. אם זה עוזר לכם, אפשר לחשוב על זה כאותו עיקרון כמו במספרים שליליים. אם תחשבו על מינוס שתיים ומינוס שלוש, אז מינוס שלוש הוא המספר הקטן יותר. טוב, אולי גם זה לא אינטואיטיבי ולא נתפש בקלות כשבוהים בזה יותר מדי. אז פשוט תחשבו על דוגמה מהמציאות: חשבון הבנק שלכם. מינוס של 3,000 שקלים בבנק יותר מבאס ממינוס של 2,000 שקלים, כי זה בעצם מספר קטן יותר של שקלים שיש לכם (אבל חוב גדול יותר, כי הכל מתבסס על ניגודים בינאריים).

חזרה לסדרות שלנו. סדרה 2 צברה כבר פער קטן ביחס לסדרה 1. הפער הוא כרגע ההפרש בין שליש לרבע, שהוא הפרש חיובי (וערכו קצת מעל 0.0833). הפער קטן, אבל הוא קיים, והוא ימשיך לגדול מצעד לצעד, עם כל איבר שאנחנו מחברים, ככל שהסדרות יתקדמו. לכן בכל ״צעד״ שנבדוק, הסכום שאליו תגיע סדרה 2 באותו צעד בהכרח קטן יותר מהסכום שאליו תגיע סדרה 1 באותו צעד. זה ככה כבר מהאיבר השלישי, ולתמיד.

עכשיו, אם רק נוכל להראות שהסכום שאליו שואפת סדרה 2 הוא בעצם אינסוף, כלומר, היא גדלה לעד (גם אם בצעדים שהולכים וקטנים), ינבע אוטומטית שסדרה 1, שהסכום שלה גדול משל סדרה 2, שואפת גם היא לאינסוף. אין ברירה אחרת. (למעשה צריך להוכיח שאין ברירה אחרת, אבל למרבה הנוחות ההוכחה כבר קיימת).

כאן בטוח איבדתם אותי. לא נורא, אין מתמטיקה בחיים האמיתיים.

למי שעדיין איתי: אז יופי לנו, אבל איך נוכל להראות שסדרה 2, הסדרה שהסכום שלה קטן יותר, באמת שואפת לאינסוף?

הכי כיף יהיה אם נוכל להראות שאחרי מספר צעדים מסוים היא גדלה ב־1, ואחרי עוד מספר צעדים היא גדלה בעוד 1, כי אז היא תהיה שקולה לסדרה שנקרא לה סדרה 3:

$$1+1+1+1+…$$

סדרה 3 פשוט גדלה לנצח בצעדים של 1, ובלי ספק שואפת לאינסוף. שוב, גם לזה יש הוכחה וצריך להוכיח את זה פורמלית, אבל לדעתי אפשר להבין גם אינטואיטיבית בלי לעשות מהפוסט הזה קורס מקיף בחשבון אינפיניטסימלי.

נחזור לסדרה 2 ונראה אם יש מצב להפיק ממנה (או בעצם לזהות בה) את התכונה הזו, של צבירת אחד־ים נצחית:

בצעד השלישי קיבלנו רבע, ובצעד הרביעי קיבלנו רבע נוסף. רבע + רבע = חצי. כמו כן, בשני הצעדים הראשונים קיבלנו 1+1/2. אם כן, הסכום הכולל עבור ארבעת האיברים הראשונים בסדרה השנייה הוא 2. כלומר, בצעד הראשון התקדמנו ב־1, ובהגיענו לצעד הרביעי כבר התקדמנו בעוד 1. שאלת חיינו היא: כמה צעדים ייקח לנו להגיע לעוד 1, ולסכום הזמני 3? בארבעת הצעדים הבאים שלנו, צעדים 5–8, יש לנו שמיניות. הסכום של ארבע שמיניות הוא חצי. לאחר מכן, שמונת הצעדים הבאים הם מה שנקרא ״שש־עשרה־איות״, ושמונה כאלה מצטברות גם הן לסכום של חצי. כלומר, בצעדים 5–16 הצלחנו לצבור עוד התקדמות של 1. הגענו ל־3 בבטחה.

והסדרה ממשיכה.

כדי להגיע ל־1 הבא שלנו (ואיתו לסכום 4) נצטרך לעבור הפעם מספר צעדים גדול יותר. אבל זה אפשרי. וכדי להגיע ל־5, נזדקק למספר אפילו יותר גדול של צעדים. אבל גם זה אפשרי. וכך הלאה. אמנם מספר הצעדים שיידרש כל פעם כדי להגיע ל־1 הבא ילך ויגדל, אבל תמיד זה יצליח. כלומר, הסדרה הקטנה (סדרה 2) גדלה ללא סוף (גם אם היא גדלה בקצב הולך וקטן, בדומה לסדרה הראשונה).

מכיוון שכבר הראינו שסדרה 1 עולה מהר יותר מסדרה 2, ודאי שגם סדרה 1 שואפת לאינסוף.

וזהו. הן חיו בעושר ואושר עד עצם היום הזה.

מה היה לנו?

ניגשתי לנושא עם שתי הנחות:
א. אם יש אינסוף מספרים חיוביים הסכום שלהם חייב להיות אינסופי.
ב. אם יש אינסוף מספרים חיוביים שהולכים ויורדים, הסכום שלהם לא אינסופי, הוא מוגבל.

היה מפתיע לגלות (ומגניב להשתכנע) שקיים מצב שבו יש אינסוף מספרים שהולכים וקטנים, אבל הסכום בכל זאת אינסופי.

הנה גיף לסיכום החוויה שלכם מהפוסט: